RV減速器固有頻率的研究

RV減速器主要用于機器人中，而機器人對高定位精度和低振動水平的要求非常嚴(yán)格，因此還必須考慮RV減速器的動態(tài)特性，將其振動限制到很低的水平。為此，本課題利用有限元分析軟件ANSYS對減速器的固有頻率進行了研究，分析其振動是否達到要求。

5.1結(jié)構(gòu)振動分析理論

減速器主要由機架、齒輪、軸、軸承等元件組成，對于此類系統(tǒng)，在內(nèi)部和外部激勵下將發(fā)生機械振動。振動系統(tǒng)的固有特性，一般包括固有頻率和振型，它是系統(tǒng)的動態(tài)特性之一，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)、動載荷的產(chǎn)生與傳遞以及系統(tǒng)振動的形式等具有重要的影響。而結(jié)構(gòu)在動載荷作用下所表現(xiàn)出來的動態(tài)特性是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基本任務(wù)。

結(jié)構(gòu)動力學(xué)中常用的分析模型是集中參數(shù)模型，集中參數(shù)模型是用常微分方程來描述的，而在集中參數(shù)模型中最常用的是有限元模型

                                    （5-1）

其中，M、c、K分別為總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣， 、 、 為結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量和為位移向量，f(t）為結(jié)構(gòu)的激振力向量。

若無外力作用，即f(t)=0，則得到系統(tǒng)的自由振動方程。在求結(jié)構(gòu)自由振動的頻率和振型即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型時，阻尼對它們影響不大，因此，阻尼項可以略去，這時無阻尼自由振動的運動方程為

                                              （5-2）

此時系統(tǒng)存在n個固有頻率和n個主振型。每一對頻率和振型代表一個單自由度系統(tǒng)的自由振動。這種在自由振動時結(jié)構(gòu)所具有的基本振動特性稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。多自由度系統(tǒng)的自由振動可以分解為n個單自由度的簡諧振動的疊加，或者說系統(tǒng)的自由振動是n個固有模態(tài)振動的線性組合。這意味著多自由度系統(tǒng)一般說來不是作某一個固有頻率的自由振動而是作多個固有頻率的簡諧振動的合成振動。
設(shè)多自由度系統(tǒng)自由振動中某一簡諧振動形式的解為

                                              （5-3）

則

                                           （5-4）

將式（5-3),(5-4）代入式（5-2）可得
（K-ω²M） =0                                              （5-5）

因為 為非零向量，所以必有如下的頻率方程

det（K-ω²M）=0                                            （5-6）

凡是滿足頻率方程的 和ω均代表該自由振動系統(tǒng)某一階的基本振動特性，即系統(tǒng)的某一階模態(tài)。求解式（5-6）得到n個特征值，特征值代表該系統(tǒng)的各階固有頻率固有頻率具有如下特點：(l）固有頻率僅和系統(tǒng)固有的質(zhì)量和剛度有關(guān)而和外界激勵無關(guān)，無阻尼系統(tǒng)的固有頻率均是正實數(shù)；(2）固有頻率是系統(tǒng)處在簡諧振動時的頻率，多自由度系統(tǒng)處于簡諧振動是指多自由度系統(tǒng)的質(zhì)點均處在簡諧振動狀態(tài)；(3）它們由小到大排列，即ω₁≤ω₂≤…≤ω_n。
將各階固有頻率ω_i，(i-l,2，…，n）依次代入方程式（5-6）便得到n個特征向量，即系統(tǒng)的n個主振型。主振型與固有頻率是一一對應(yīng)的，不同的固有頻率對應(yīng)著不同的主振型。

5.2模態(tài)分析簡介

結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計要求根據(jù)結(jié)構(gòu)的動載功況，根據(jù)對結(jié)構(gòu)提出的功能要求及設(shè)計準(zhǔn)則，按照結(jié)構(gòu)動力學(xué)的分析方法和實驗方法反復(fù)進行分析和計算，而結(jié)構(gòu)模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計的核心。從物理方面看，模態(tài)表示其無阻尼自由振動時的各階固有頻率和主振型，它表明結(jié)構(gòu)的共振頻率以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對變形。傳統(tǒng)的動態(tài)分析只是在機器制成后在時域內(nèi)測定機器有關(guān)結(jié)構(gòu)的振動量，即選擇若干測點測定其位移、速度及加速度隨時間變化的曲線，這種方法不能直接了解系統(tǒng)的動態(tài)特性以及響應(yīng)和結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，因此既不能找出產(chǎn)生某種響應(yīng)的原因，更不能在設(shè)計階段就預(yù)見其動態(tài)特性。對比之下，模態(tài)分析的重要性顯而易見。
對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析是ANSYS的強大功能之一。模態(tài)分析用于確定設(shè)計中的結(jié)構(gòu)或機器部件的振動特性（固有頻率和振型），其分析過程主要由四個步驟組成：

1.建模
建模過程中必須注意以下兩點：
(l）在模態(tài)分析中只有線性行為是有效的，如果指定了非線性單元，將作為線性的來對待。
(2）材料性質(zhì)可以是線性的或非線性的、各向同性的或正交各向異性的、恒定的或與溫度相關(guān)的。在模態(tài)分析中必須指定彈性模量Ex（或某種形式的剛度）和密度DENS（或某種形式的質(zhì)量），而非線性特性將被忽略。
2.加載及求解
(l）選擇一種合適的模態(tài)提取方法。可選的模態(tài)提取方法有：
1)Subspace法（子空間法），該方法適用于大型對稱特征值求解問題�？梢杂脦追N求解控制選項來控制子空間迭代過程。
2)Blook Lanozos法（分塊的蘭索斯法），適用于大型對稱特征值求解問題。

3)PowerDynamics法，此方法適用于非常大的模型（100000個自由度以上），尤其適合于只求解結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)，以了解結(jié)構(gòu)將如何響應(yīng)的情形，接著可以選擇合適的提取方法（subspace或Block Lanczos）求得最終的解。

4）Reduced Householder法（豪斯霍爾德法），它比Subspace法快，但精度較低。

5）Unsymmetric法（非對稱法）, 該方法適用于系統(tǒng)矩陣為非對稱矩陣的問題，例如流體一結(jié)構(gòu)相互作用問題。

6)Damped法，主要用于阻尼不可忽略的問題例如軸承問題。

在大多數(shù)分析過程中將選用Subspace法、Block Lanczos法、Reduced Householder法或PowerDynamics法，Unsymmetric法和Damped法只在特殊情形下才會用到，因此本課題中分別采用前兩種方法進行了求解,得到相同的結(jié)果。

(2）在模型上加載荷。在典型的模態(tài)分析中唯一有效的“載荷”是零位移約束。如果在某個DOF處指定了一個非零位移約束，程序?qū)⒁粤阄灰萍s束替代在該DOF處的設(shè)置。對于其它類型的約束，如力、壓力、溫度、加速度等，可以在模態(tài)分析中指定，但在模態(tài)提取時將被忽略。
3.觀察結(jié)果，結(jié)果包括固有頻率和振型。

5.3 RV減速器有限元模型的建立及分析結(jié)果

將UG中的幾何模型導(dǎo)入到ANSYS中，利用其AWE模塊可自動地劃分網(wǎng)格、施加接觸。在對機械系統(tǒng)進行有限元分析時，所建立的模型在達到所要求分析精度的前提下應(yīng)該盡量簡單，這樣可以節(jié)省計算時間，因此考慮到針齒殼與機物固結(jié)，不影響分析，建立有限元模型前將針齒殼去除。對于RV減速器選用八節(jié)點六面體實體單元來劃分網(wǎng)格，共劃分為56139個單元和97246個節(jié)點，劃分網(wǎng)格后的有限元模型如圖5-1所示。同時AWE模塊根據(jù)所設(shè)定的接觸檢測的間隙誤差（此處設(shè)為0），自動定義接觸，之后在輸入軸上施加固定約束，即可進行模態(tài)求解。利用AWE模塊進行模態(tài)分析比傳統(tǒng)的ANSYS進行模態(tài)分析過程簡單、方便、所得結(jié)果也非常準(zhǔn)確。

對上圖有限元模型進行模態(tài)計算時不必求出全部的固有頻率和振型，越是低價模態(tài)，對振動影響越大，通常取前5～10階模態(tài)，精度就已足夠。本課題在分析中求解了前11階模態(tài)，這些模態(tài)的固頻率和振型情況見表5-1，圖5-2僅給出減速器的前6階固有振型，通過振型圖和各階振型的動畫顯示，可直觀地分析RV減速器的動態(tài)特性。

表5-1 RV減速器的固有頻率及振型表

在RV減速器的負(fù)載變化和誤差較小的情況下，其激勵就是嚙合剛度的變化頻率。RV減速器的嚙合剛度由漸開線齒輪傳動嚙合剛度和擺線針輪傳動嚙合剛度組合而成，該系統(tǒng)的運動周期應(yīng)是所包含的兩種嚙合剛度變化周期的最小公倍數(shù)，由于從輸入齒輪軸到擺線輪的減速比很大，可以把擺線針輪嚙合剛度變化的周期作為運動周期，其變化的頻率為

f₂=n₂·（Z_b-1）/60                                           （5-7）

式中，n₂是第二級減速部分的輸入轉(zhuǎn)速。在額定功況下，輸入軸轉(zhuǎn)速為1500r/min，則n₂約為435r/min，這樣得f₂=210.25Hz，由5-1可以發(fā)現(xiàn)基叔遠(yuǎn)大于激勵頻率，因此RV減速器的振動水平很低，這也是RV減速器越來越廣泛地應(yīng)用于機器人的一個非常重要的原因。