第三章 對中齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動

3.1 引言

齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線在對中和不對中二種情況下，由于內(nèi)外齒輪輪齒的接觸狀態(tài)不同，使得由齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動形式存在差異。從理論上講，軸線嚴(yán)格對中，則各齒上的受力和變形完全相同，因而在齒輪聯(lián)軸器橫向上的力學(xué)特性也完全相同[34]；而在不對中時，則正好相反，因此相應(yīng)的力學(xué)模型也會有所不同。本章在上一章的基礎(chǔ)上，首先根據(jù)拉格朗日方程重點(diǎn)來討論半齒輪聯(lián)軸器在對中時，系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的建立過程，然后對一個由齒輪聯(lián)軸器連接的二個Jeffcott轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)（軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)）進(jìn)行了比較詳細(xì)的數(shù)值分析。有關(guān)齒輪聯(lián)軸器在不對中時的建模和分析將在第五、第六、第七章中作詳細(xì)的討論。

在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的建立過程中要涉及到軸承、轉(zhuǎn)子和齒輪聯(lián)軸器這三部件的�；�。在以小擾動為基礎(chǔ)的線性系統(tǒng)中，一般將滑動軸承的油膜力用八個線性化的剛度和阻尼系數(shù)來表征；而將轉(zhuǎn)子離散成為多個無質(zhì)量的彈性軸段及具有質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的多個剛性圓盤，主要的方法有集總參數(shù)法和有限元法，具體的作法參見文獻(xiàn)[90]。齒輪聯(lián)軸器作為整體系統(tǒng)的一個子系統(tǒng)，一般有二對齒數(shù)相等內(nèi)外齒相嚙合的齒輪和相應(yīng)的軸段組成，這樣自然可以將其視為簡單的軸般結(jié)構(gòu)，將其中齒輪及軸段的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量分別等效到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上，齒輪嚙合處的力學(xué)模型由上一章的六個剛度和阻尼系數(shù)給出。由于二對齒輪的嚙合建模完全類似，所以在此我們重點(diǎn)來討論一對嚙合的齒輪處，即半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的建模問題。并以此模型從理論上探討軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的失穩(wěn)機(jī)理。通過數(shù)值方法分析齒輪聯(lián)軸器對整體系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響，并著重與等效軸計算方法[6]進(jìn)行比較。計算了在多種工況下系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)。

3.2 半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)運(yùn)動方程

設(shè)將整個軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)劃分成n個軸段和n個結(jié)點(diǎn)，在第j個結(jié)點(diǎn)處存在一個半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，如圖3.1所示。將外齒輪和內(nèi)齒套均看作一當(dāng)量圓盤，并滿足小擾動假設(shè)，不計軸向運(yùn)動，則圓盤的運(yùn)動可用其中心的位移（x_j，y_j）和相應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角（φ_j，ψ_j，θ_j）來表示，其中三個偏轉(zhuǎn)角的意義見圖3.2。設(shè)oxyz為固定坐標(biāo)系，oξηz為相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，下面就以此為模型用拉格朗日方程來建立該子系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。

3.2.1 動能

半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動能包括內(nèi)齒套和外齒輪的平動動能和轉(zhuǎn)動動能

下標(biāo)i，e分別表示內(nèi)齒套和外齒輪。

對于半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，內(nèi)齒套和外齒輪的齒數(shù)是相等的，因此繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角速度均為Ω加上一個相應(yīng)的小量，在小偏離的情況下，略去高階小量后得系統(tǒng)的動能[90]為

其中 Ω為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度；

m_jk （k=e,i）分別為外齒輪和內(nèi)齒套的質(zhì)量；

J^l_jk（k=e,i l=d,z）分別為外齒輪和內(nèi)齒套的赤道轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量。

3.2.2 彈性勢能

（1）軸段的彎曲彈性勢能，參見圖3.3。

其中 S_j-1，M_j-1，N_j-1，S_j，M_j，Q_j，N_j分別為作用于第j-1、j個結(jié)點(diǎn)處軸截面上的剪力和彎矩，根據(jù)平衡方程則第j個軸段在x方向

式中 EI為軸段截面的抗彎剛度。

由式（3.3）可得

第j個軸段在x方向的彎曲彈性勢能[91]

同理可得y方向的彎曲彈性勢能。

（2）軸段的扭轉(zhuǎn)彈性勢能，參見圖3.4。

第j個軸段的扭轉(zhuǎn)彈性勢能

式中 GI_p為軸段截面的抗扭剛度。

（3）半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彈性勢能

第j個軸段的總彈性勢能

U_j=U_jx+U_jy+U_jt                                   （3.7）

半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彈性勢能包括左右軸段和聯(lián)軸器的彈性勢能

U=U_j+U_ie+U_j+1                                    （3.8）

將以上各式代入即得

3.2.3 耗散函數(shù)

系統(tǒng)的能量耗散主要來自軸承的油膜阻尼和齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼。在此暫不考慮軸承的油膜阻尼部分，對于聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼所耗散的能量是與聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪的相對運(yùn)動有關(guān)，因此建立耗散函數(shù)時，應(yīng)該在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中。半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的耗散函數(shù)為

由圖3.2中的坐標(biāo)變換可得

將式（3.12）、（3.13）代入式（3.10）中得

3.2.4 運(yùn)動微分方程

根據(jù)拉格朗日方程

將式（3.2）、式（3.9）和式（3.14）分別代入式（3.15），就可以得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程。由于彎曲運(yùn)動和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動不耦合，所以將二者分開以便于討論。

（1）半齒輪聯(lián)軸器的彎曲運(yùn)動方程

這樣就得到了第j個結(jié)點(diǎn)（外齒輪、內(nèi)齒套）處的彎曲運(yùn)動微分方程。

（2）半齒輪聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動方程

在外齒輪處

在內(nèi)齒套處

3.3 軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程

（1）系統(tǒng)的彎曲運(yùn)動微分方程

轉(zhuǎn)子上各結(jié)點(diǎn)處（1，2，…，j-1）的彎曲運(yùn)動微分方程可參見文獻(xiàn)[90]。將上面推得的第j個結(jié)點(diǎn)（即半齒輪聯(lián)軸器處）的彎曲運(yùn)動微分方程合在一起就可以得到轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎曲運(yùn)動微分方程。如果在轉(zhuǎn)子的第i個結(jié)點(diǎn)處具有滑動軸承支承，則只要在第i個結(jié)點(diǎn)處的運(yùn)動方程中直接加入反應(yīng)軸承的八個油膜剛度和阻尼系數(shù)，這樣就可以得到整體系統(tǒng)的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器耦合系統(tǒng)的彎曲運(yùn)動微分方向，簡寫成

式中 {q}={x₁ y₁ φ₁ ψ₁ … x_je y_je φ_je ψ_je x_ji y_ji φ_ji ψ_ji … x_n y_n φ_n ψ_n}^T

在式（3.20）中，[M]，[C]，[K]分別為整體系統(tǒng)的廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，這三個矩陣是對稱陣；而[G]是陀螺力陣，[S]是廣義循環(huán)力（或稱之為廣義約束阻尼力）陣，這二個矩陣是反對稱陣；{F}為外激振力陣。

（2）系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動微分方程

同理可以寫出轉(zhuǎn)子上各結(jié)點(diǎn)處（1，2，…，j-1）的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動方程，參見文獻(xiàn)[90]。再將上面得到的第j個結(jié)點(diǎn)（即半齒輪聯(lián)軸器處）的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動微分方程合在一起就可以得到整體系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動微分方程。簡寫為

式中 {β}={θ₁ … θ_ie θ_ii … θ_n}^T；

[J]，[C_β]，[K_β]分別為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量陣，扭轉(zhuǎn)阻尼力矩和扭轉(zhuǎn)剛度陣；

{F_β}為外扭轉(zhuǎn)激振力矩陣。

由于扭轉(zhuǎn)振動的內(nèi)阻尼不存在自激，所以下面我們重點(diǎn)討論整體系統(tǒng)的彎曲振動。

3.4 齒輪聯(lián)軸器內(nèi)阻尼引起自激振動的機(jī)理

在單自由度系統(tǒng)中，自激振動是由于負(fù)阻尼作用引起的，而在多自由度系統(tǒng)中就要復(fù)雜得多。并非一定象單自由度系統(tǒng)那樣純粹出于負(fù)阻尼，也可能由于各自由度之間的耦合作用引起不穩(wěn)定振動。

對于具有內(nèi)阻尼的簡單耦合系統(tǒng)

設(shè)方程的解為

則式（3.22）的特征方程為

（mλ²+cλ+k）²+（Ωc）²=0                                    （3.24）

令

2n=c/m，    ω₂=k/m                                    （3.25）

則方程的特征值為

一般而言n=c/2m是很小的，故有

從λ_1,2可以看出，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，當(dāng)Ω/ω＞1，即轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度大于系統(tǒng)的固有頻率值時，則由{x y}^T={X Y}^Te^n(Ω/ω-1)t·e^iωt組成的振幅隨時間增大，并以e^iωt的形式振動，這樣振動隨時間不斷的增大，即產(chǎn)生自激振動。因此在轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度Ω大于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)便會發(fā)生頻率為ω的自激振動，并且隨著Ω的增大（指超過ω后），系統(tǒng)的振動越來越敏感，這就是內(nèi)阻尼引起自激振動的機(jī)理。當(dāng)然在Ω/ω＞1時，實際系統(tǒng)并不立即失穩(wěn)，因為此時系統(tǒng)的非線性特性會顯現(xiàn)出來，在此我們不作討論。

對于式（3.20）的穩(wěn)定性分析要復(fù)雜得多，形如式（3.14）的耗散函數(shù)首見于文獻(xiàn)[92]。美國學(xué)者Kane等在研究耗散的重力定向自旋衛(wèi)星穩(wěn)定性時發(fā)現(xiàn)的，與之相關(guān)的力被后來的學(xué)者稱之為約束阻尼，并沿用至今，而在轉(zhuǎn)子動力學(xué)中則多被稱為循環(huán)力[93].如果在系統(tǒng)運(yùn)動方程中沒有循環(huán)力陣[S]，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用著名的Kelvin-Tait-Chetaev定理來分析，但是當(dāng)[S]≠0時，這個定理就不適用了。Mingori[94]、李俊峰等[95]對此作了專門的研究，給出了在某些特定條件下的判穩(wěn)方法。文獻(xiàn)[94]仍要求解一同階矩陣的特征值；而文獻(xiàn)[95]中的條件則要求det[G]≠0，因而式（3.20）不滿足，比較可行的方法是運(yùn)用Routh-Hurwitz法來判穩(wěn)，但也只能解決低階系統(tǒng)，對于高階系統(tǒng)只能進(jìn)行數(shù)值計算。一個比較簡單的物理解釋是在式（3.16）和式（3.17）中，存在首促進(jìn)渦動的耦合力（c_lΩx）和耦合力矩（c_aΩφ）項。下面以耦合力（c_lΩx）為例來加以說明。設(shè)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動方向和渦動方向如圖3.5所示，耦合力與軸的轉(zhuǎn)動方向相同，并且隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度Ω的增大而增大，在Ω高于某一極限值時，這個耦合力會超過外阻尼使軸心產(chǎn)生一個與該力同向的加速度，這個加速度使軸心軌跡發(fā)散，即系統(tǒng)失穩(wěn)。

實際上從式（3.16）和式（3.17）可知，由于聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼使方程的最后一項產(chǎn)生交叉耦合并呈反對稱，而正是此項的出現(xiàn)會降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這也是轉(zhuǎn)子動力學(xué)中內(nèi)阻尼引起的各種自激振動的共同特性。

上一頁

下一頁